83. Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего
83. Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего
Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) была предложена американскими учёными Боксом и Дженкинсом в 1976 г. как один из методов оценки неизвестных параметров и прогнозирования временных рядов.
Моделью авторегрессиии проинтегрированного скользящего среднего называется модель, которая применяется при моделировании нестационарных временных рядов.
Нестационарный временной ряд характеризуется непостоянными математическим ожиданием, дисперсией, автоковариацией и автокорреляцией.
В основе модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего лежат два процесса:
1) процесс авторегрессии;
2) процесс скользящего среднего.
Процесс авторегрессии может быть представлен в виде:
xt=a+?1xt-1+?2xt-2+…+?t,
где a – свободный член модели, являющийся константой;
?1 ?2…— параметры модели авторегрессии;
? – случайное воздействие (ошибка модели).
Каждое наблюдение в модели авторегрессии представляет собой сумму случайной компоненты и линейной комбинации предыдущих наблюдений.
Процесс скользящего среднего может быть представлен в виде:
xt=?+?t–?1?t–1–?2?t–2–…
где ? – свободный член модели, являющийся константой;
?1 ?2… – параметры модели скользящего среднего;
? – случайное воздействие (ошибка модели).
Текущее наблюдение в модели скользящего среднего представляет собой сумму случайной компоненты в данный момент времени и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени.
Следовательно, в общем виде модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего описывается формулой:
где С – свободный член модели, являющийся константой;
?t – некомпенсированный моделью случайный остаток.
В обозначениях Бокса и Дженкинса модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего записывается как АРПСС(p,d,q) или ARIMA (p,d,q), где
p – параметры процесса авторегрессии;
d – порядок разностного оператора;
q – параметры процесса скользящего среднего.
Для рядов с периодической сезонной компонентой применяется модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего с сезонностью, которая в обозначениях Бокса и Дженкинса записывается как АРПСС (p,d,q) (ps,ds,qs), где
ps – сезонная авторегрессия;
ds – сезонный разностный оператор;
qs – сезонное скользящее среднее.
Моделирование нестационарных временных рядов с помощью модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего осуществляется в три этапа:
1) проверка временного ряда на стационарность;
2) идентификация порядка модели и оценивание неизвестных параметров;
3) прогноз.
Применение модели АРПСС предполагает обязательную стационарность исследуемого ряда, поэтому на первом этапе данное предположение проверяется с помощью автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда остатков. Остатки представляют собой разности наблюдаемого временного ряда и значений, вычисленных с помощью модели.
Устранить нестационарность временного ряда можно с помощью метода разностных операторов.
Разностным оператором первого порядка называется замена исходного уровня временного ряда разностями первого порядка:
Разностные операторы первого порядка позволяет исключить линейные тренды.
Разностные операторы второго порядка позволяют исключить параболические тренды.
Сезонные разностные операторы предназначены для исключения 12-ти или 4-х периодичной сезонности:
Если модель содержит и трендовую, и сезонную компоненты, то необходимо применять оба оператора.
На втором этапе необходимо решить, сколько параметров авторегрессии и скользящего среднего должно войти в модель.
В процессе оценивания порядка модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего применяется квазиньютоновский алгоритм максимизации правдоподобия наблюдения значений ряда по значениям параметров. При этом минимизируется (условная) сумма квадратов остатков модели. Для оценки значимости параметров используется t-статистика Стьюдента. Если значения вычисляемой t-статистики не значимы, соответствующие параметры в большинстве случаев удаляются из модели без ущерба подгонки.
Полученные оценки параметров используются на последнем этапе для того, чтобы вычислить новые значения ряда и построить доверительный интервал для прогноза.
Оценкой точности прогноза, сделанного на основе модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего является среднеквадратическая ошибка (mean square), вычисляемая по формуле:
Чем меньше данный показатель, тем точнее прогноз.
Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего считается адекватной исходным данным, если остатки модели являются некоррелированными нормально распределёнными случайными величинами.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.