ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ ЭНГЕЛЬГАРДТ. (1894-1984)

ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ ЭНГЕЛЬГАРДТ. (1894-1984)

В.А. Энгельгардт — выдающийся биолог и общественный деятель, академик-секретарь по биологическим наукам АН СССР, возглавлял созданный в 1959 году Институт молекулярной биологии АН СССР. Он был членом бюро Международного совета научных союзов, принимал деятельное участие в Пагуошском движении. Научно-исследовательская деятельность Энгельгардта имела принципиальное значение для развития динамической и функциональной биохимии, для формирования молекулярной биологии. Его труды способствовали радикальному изменению канонов биологического мышления, преобразованию способов экспериментального исследования, освоению биологией физических и химических подходов. Особое внимание уделял мировоззренческим и методологическим проблемам биологии. Определяя место этой науки в современном естествознании, он обратился к анализу сущностных основ жизни. Ее атрибутами Энгельгардт считал: иерархию, интеграцию, «узнавание»; биологические объекты он рассматривал как открытые системы, обменивающиеся веществом, энергией и информацией с окружающей средой. Особое значение он придавал философскому осмыслению содержания молекулярной биологии, определению ее статуса, мировоззренческого значения и роли в познании жизни. Под таким углом зрения Энгельгардт анализировал систему способов биологического познания. Признавая значение редукционистской методологии, он вместе с тем подчеркивал важность интегратизма как методологического подхода, предполагающего восхождение познания от молекулярного уровня биологических систем к более сложным уровням, и одновременно как целенаправленного изучения факторов, определяющих усложнение биосистем в реальных условиях.

О.С. Суворова

Приводятся фрагменты из книги:

Энгельгардт В.А. Познание явлений жизни. М., 1984.

Проблема жизни в современном естествознании

Веками и тысячелетиями загадка жизни оставалась прибежищем метафизики, областью верования, а не знания. Понятие жизни неразрывно связывалось с понятием души, с представлениями об особой нематериальной «жизненной силе», с энтелехией Дриша, «жизненным порывом» Бергсона и т.д. Суть всех этих учений состоит в утверждении, что живые существа и жизненные процессы не могут быть объяснены в понятиях специальных научных дисциплин (физики, химии и др.), в согласии с научными представлениями каузальных зависимостей. (С. 184)

<...> вырисовываются ли уже контуры ответа на самый коренной вопрос: что такое жизнь?

Приходится признать, что дать на поставленный вопрос ответ, который полностью отвечал бы предъявляемым к нему требованиям, еще не представляется возможным. Более того, в настоящее время наука не располагает точным, неоспоримым ответом на, казалось бы, значительно более простой вопрос: по какому признаку определить, является ли данный объект живым или неживым? (С. 184)

Итак, на всех уровнях биологической организации — от уровня нуклеопротеида, каковым может являться вирус, и до уровня человеческого организма — мы неизменно сталкиваемся с невозможностью однозначно провести границу между живым и неживым. Мы сталкиваемся с цепью градаций, неуловимо приближающейся к некоторому пределу, подлинная граница которого не поддается фиксированию. Отсюда понятно, что громадные трудности возникают при попытке дать безупречный ответ на вопрос: что такое жизнь? (С. 186)

Жизнь качественно превосходит нижележащие формы существования материи в различных аспектах. Прежде всего в отношении состава и строения живых объектов, многообразия живых компонентов и сложности специфичных для них химических соединений. То же справедливо и в отношении динамики, т е. многообразия и быстроты превращения материи. Те уровни, которые характеризуют живые системы, на многие порядки превышают наблюдаемые в неживом мире.

Однако, как ни важны приведенные признаки, гораздо большее значение имеет начало упорядоченности как наиважнейшее качество всего живого. <...> Именно в способности живого создавать порядок из хаотического теплового движения молекул состоит наиболее глубокое, коренное отличие живого от неживого. Тенденция к упорядочению, к созданию порядка из хаоса есть не что иное, как противодействие возрастанию энтропии.

Отсюда следует вывод первостепенной важности: живые объекты должны представлять собой открытые системы, т.е. быть способными взаимодействовать с окружающей средой, обмениваясь с ней энергией. Именно в силу этого функционирование живых организмов не нарушает термодинамического принципа возрастания энтропии: локальное уменьшение энтропии, возникающее в изолированно взятом объекте, сопровождается ее возрастанием в системе живой объект-среда, и, следовательно, никакого нарушения второго начала термодинамики не происходит.

То новое, что внесено в познание сущности жизни современной наукой, состоит в огромном углублении и расширении сведений об элементарных основах тех первичных механизмов, которые обеспечивают осуществление важнейших проявлений жизнедеятельности. Речь идет о тех свойствах живого, которые издавна стояли в числе главнейших атрибутов жизни (размножение, явление наследственности, обмен веществ, движение, трансформация энергии и т.д ). (С. 186-187)

Еще более определенно этот качественный сдвиг проявился в обнаружении новых, неизвестных ранее феноменов, которые, бесспорно, представляют собой важнейшие атрибуты жизни. Они лежат в самой основе ряда важнейших биологических функций и свойственны только живым системам. К ним относятся некоторые черты химического состава, новые принципы процесса биосинтеза макромолекул, молекулярные механизмы регуляции в живых системах, основы биологической информации.

Необходимо подчеркнуть, что познание новых типических черт живого стало возможным благодаря решающему вторжению точных наук — физики, химии, кристаллографии и других — в сферу биологических проблем. Этому сопутствовало то обстоятельство, что в обиход экспериментальнобиологического исследования были введены объекты предельно простого характера, стоящие на самом рубеже живого и неживого мира, такие, как вирусы или системы, достигающие подлинно молекулярного уровня.

В результате мощного взаимного усиления тесно переплетающихся линий исследования в огромной степени возрос фронт аналитического изучения коренных явлений жизни, рука об руку с которым шло развитие синтетических, интегративных концепций. В короткий срок, на протяжении полутора-двух десятилетий, возникла новая наука — молекулярная биология, которая и произвела подлинную революцию во многих важнейших областях биологии. (С. 188)

Мы можем сказать, что жизнь представляет собой совокупность некоторого числа начал, из которых каждое, взятое в отдельности, недостаточно для того, чтобы обеспечить функционирование живой системы, но при отсутствии хотя бы одного из них эта система разрушается. Одним из таких начал является структурная организация. Мы не можем представить себе, чтобы жизнь имела место в бесструктурной среде, не содержащей элементов определенной, в какой-то мере фиксированной, материальной упорядоченности. Далее, в основе жизни лежит сочетание трех потоков: потока вещества, потока энергии и потока информации. Они качественно глубоко различны, но сливаются в некое единство высшего порядка, которое можно было бы охарактеризовать как «биотическое триединство», составляющее динамическую основу жизни. (С. 189)

Открытие принципа матричного синтеза — один из крупнейших успехов современного естествознания, ибо он дал конкретное истолкование одного из коренных атрибутов жизни на уровне молекулярной структуры. <...>(С. 191)

В матричном синтезе сливаются между собой поток материи и поток информации, первый — в форме синтеза важнейших составных частей субстанции живых систем, белков и нуклеиновых кислот, а второй — в форме фиксирования определенных указаний в химической структуре макромолекул нуклеиновых кислот. В принципе матричного синтеза фундаментальное свойство живого — воспроизведение себе подобного — получает интерпретацию в терминах химических понятий на подлинно молекулярном уровне. Природой здесь решена задача, имеющая ключевое значение для всей проблемы жизни: создание гигантских молекул, без которых невозможна жизнь, содержащих тысячи и до сотен тысяч отдельных звеньев при сохранении с предельной точностью порядка взаимного расположения и чередования этих звеньев. (С. 191-192)

Одной из характерных черт энергетики живого является многообразие трансформаций энергии при осуществлении различных биологических функций, сочетающихся с элементами унификации некоторых основных звеньев энергетического потока. <...> (С. 192)

Упорядоченность и саморегуляция, без которых не может существовать ни одна живая система, осуществляются в силу определенной системы связей, в результате которой сложная множественность приобретает свойства некоего единства. Поток информации как атрибут живого и является механизмом, обеспечивающим формирование такой системы связей, которая соединяет между собой отдельные компоненты живого организма. Первостепенное значение при этом принадлежит тем взаимоотношениям, которые имеют характер «обратных связей», поскольку именно они составляют основу всех механизмов саморегулирования. (С. 194)

<...> Регуляция и управление всеми звеньями материальной динамики живой системы целиком покоятся на информационных механизмах — сигнализирующих каналах связи, воспринимающих и перерабатывающих информацию. <...> (С. 196)

<...> Не давая увлекать себя слишком поспешными декларациями, несущими нездоровый элемент сенсации, свидетелями которых мы были в самое последнее время, можно все же с полной определенностью утверждать, что цель, так недавно казавшаяся недосягаемой, — искусственное создание простейших форм живого — вполне достижима.

В начале статьи мы отметили парадоксальное положение, сложившееся в связи с поисками ответа на вопрос, что такое жизнь. Оказалось, что не найдено даже исчерпывающего ответа на вопрос о различии живого и неживого. Теперь мы сталкиваемся с парадоксом иного порядка. Быть может, мы получим нечто живое, не зная до конца, что же такое жизнь. Но это не должно нас ни в коей мере обезоруживать в поисках. Нет сомнения, что именно на этом пути будет сделан решающий шаг в движении к конечной цели — познанию сущности жизни. Можно ли сомневаться в том, что это будет величайшим триумфом естествознания нашего века! (С. 200-201)

Интегратизм — путь от простого к сложному в познании явлений жизни

Революция в биологии, свидетелями и соучастниками которой мы все являемся, не только подняла изучение коренных проблем биологии на качественно новый уровень, но в то же время именно в силу своего стремительного развития в возрастающей мере выдвинула перед исследователями вопросы философского, гносеологического порядка. Наступление нового периода в развитии науки о живом мире получило конкретное выражение в возникновении новой ветви науки — молекулярной биологии. <...>(С. 201)

Число биологических проблем, ждущих своего теоретического осмысления и философского освещения, весьма значительно. Не подлежит сомнению, что среди них важнейшее значение имеет проблема правомочности сведения сложных явлений, с какими мы имеем дело в биологии, к элементарным уровням физики и химии. <...> (С. 202)

В биологических кругах теперь лишь обсуждается вопрос о правильном соотношении двух течений научной мысли в изучении живого мира, получивших наименования редукционизма и органицизма. <...> Редукционизм обозначает принцип исследования, основанный на убеждении, что путь к познанию сложного лежит через расчленение этого сложного на все более и более простые составные части и изучение их природы и свойств. Предполагается, что путем сведения сложного к совокупности или к сумме его частей и изучения последних мы получим знания и о свойствах исходного целого.

Во избежание неясности в толковании необходимо подчеркнуть, что здесь термин «редукционизм» используется нами для строго очерченного, специфического круга явлений. В соответствии с установившейся в естественно-научной литературе традицией этот термин применяется к изучению живых объектов, к трактовке жизненных функций. Он охватывает одновременно как метод исследования, по существу являющийся систематически развиваемым и углубляемым аналитическим подходом, так и цель, сводящуюся к ожиданию получения исчерпывающего знания о свойствах исходной целостности. Если первый аспект принимается полностью и безоговорочно, то в отношении второго требуются определенные ограничения, возникающие из условности и неполноты достигаемой степени познания. <...> (С. 220-203)

В противоположность редукционизму органицизм постулирует невозможность сведения сложного к простому и объектом исследования согласен принимать лишь ту или иную степень целостности, тот уровень организации, который адекватен характеру изучаемых функций и свойств.

Позиции органицизма основываются на постулате, формулирование которого иногда приписывается еще Платону. Согласно этому постулату, целое есть нечто большее, чем простая сумма его частей. <...> (С. 203) <...> В настоящее время проблема «сводимости» должна быть повернута в диаметрально противоположном направлении. Главенствующим должен стать вопрос: каким образом возникает сложное из простого, какие силы тут вступают в действие, каковы закономерности этого процесса, как создаются новые качества в результате прогрессирующего усложнения с переходом к новым, более высоким уровням организации? <...> (С. 204)

<...> задача сейчас в значительной степени должна состоять не в противопоставлении двух методологических подходов, а в поисках путей их синтеза или по крайней мере тех или иных форм комплементарности (т.е. взаимной дополнительности) — взаимоотношения частей сложных целостностей, что особенно настойчиво выдвигалось Н.Бором в качестве одного из ведущих начал в создании нашей современной картины мироздания, обладающего характером универсальности. (С. 204)

Совершенно иную, принципиально отличную методологическую значимость надлежит признать за ориентацией научного поиска, ведущей от наиболее примитивных, элементарных, в основном молекулярных уровней, где господствует современный редукционизм, в обратном направлении, к уровням все более возрастающей сложности организации, к системам, приобретающим новые свойства и функции. Задачу этого направления надо видеть в преодолении односторонности редукционизма, в познании того, каким образом происходит включение, интеграция элементов более примитивных в новые целостности, стоящие на более высокой ступени организационной иерархии, с иными степенями упорядоченности. Основной чертой при этом переходе от простого к сложному является именно его интегративный характер, возникновение определенной системы связей, утрата компонентами образующейся целостности некоторой части своих индивидуальных свойств, поглощение их свойствами интегрального целого. Соответственно этому для данного научнопознавательного направления может быть предложено наименование интегратизма. (С. 207)

Таким образом, можно говорить о трех элементах, совокупностью которых характеризуются взаимоотношения целого и части. Во-первых, это — возникновение взаимодействующей системы связей между частями целого. Во-вторых, утрата некоторых свойств части при вхождении в состав целого. В-третьих, появление у возникающей новой целостности новых свойств, обусловленных как свойствами составных частей, так и возникновением новых систем межчастичных связей. К этому нужно добавить еще упорядоченность частей, детерминированность их пространственного и функционального взаимоотношения. (С. 209)

Интегратизм — это не цель, а путь. Обеспечение правильного сочетания, целесообразного соотношения редукционизма и интегратизма является основой стратегии научного поиска в области познания явлений жизни на ближайшее время, а вернее, для всего будущего развития биологии как точной науки. Руководящим принципом при этом должно быть стремление строить схемы и понятия интегратизма, отправляясь от данных, получаемых на путях редукционизма, т.е. исходя из наиболее простых, элементарных условий шаг за шагом подниматься по восходящим ступеням иерархической градации, переходя ко все возрастающим степеням усложненности исследуемых систем. Внутреннее диалектическое объединение этих двух, казалось бы, диаметрально ориентированных линий биологического исследования и мышления должно характеризовать ближайший этап в подходах к познанию живого мира. (С. 221)

АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КОЛМОГОРОВ. (1903-1987)

А.Н. Колмогоров родился в семье агронома в г.Тамбове. В 1925 году окончил Московский университет. С 1929 года - старший научный сотрудник НИИ математики и механики при МГУ и одновременно — зав. кафедрой математики в Индустриально-педагогическом институте им. К. Либкнехта (в дальнейшем влившемся в МГПИ им. В.И. Ленина). С 1931 года Колмогоров — профессор МГУ. В разные годы своей жизни он работал зав. отделением математики мехмата МГУ, деканом этого факультета, зав. кафедрой теории вероятностей и зав. лабораторией вероятностных и статистических методов, зав. кафедрой математической статистики и кафедры математической логики МГУ. Научно-педагогическую работу в МГУ совмещал с деятельностью в Математическом институте им. Стеклова АН СССР.

Колмогорову принадлежат работы в сферах теорий функций действительного переменного, конструктивной логики и математики, топологии, механики, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа. Основополагающее значение имеют его работы по теории вероятностей. Внес вклад в разработку теории стрельбы, статистических методов контроля массовой продукции, проблем математического образования в высшей и средней школе.

Б.Л. Яшин

Фрагменты текста печатаются по изданию:

Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.,1991.

Предмет математики

Связь математики с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, а также из внутренних потребностей самой математики. Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей к середине XIX в. центральное положение во всем математическом анализе. <...> (С. 60)

В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного и тензорного анализа. Постепенно все более обнаруживалось, что именно с точки зрения механики и физики «скалярные» величины, послужившие исходным материалом для формирования понятия действительного числа, являются лишь частным случаем величин многомерных. <...> (С. 61)

Таким образом, как в результате внутренних потребностей математики, так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется: в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т.п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» приведенное в начале статьи определение математики применимо и на новом современном этапе ее развития. (С. 61-62)

<...> пространственные формы можно рассматривать как частный вид количественных отношений, если этому последнему термину придать достаточно широкое толкование, так что с этой точки зрения включение в определение математики особого упоминания «пространственных форм» является лишь указанием на относительную самостоятельность геометрических отделов математики. Количественные отношения (в общем философском понимании этого термина) характеризуются, в отличие от качественных, лишь своим безразличным отношением к конкретной природе тех предметов, которые они связывают. Поэтому они и могут быть совершенно отделены от их содержания как от чего-то безразличного для дела <...>. Можно сказать, что количественные отношения суть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от которой они отвлечены, только то, что предусмотрено в их определении. Из этих общих свойств количественных отношений легко объясняются основные особенности математики как науки о такого рода отношениях. Ее по преимуществу дедуктивный характер объясняется тем, что все свойства чистых отношений должны содержаться в самом их определении. Широкая применимость каждой математической теории в различных по конкретному содержанию областях естествознания и техники объясняется тем, что математика изучает только отношения, безразличные к конкретной природе связываемых ими объектов. В создании методов, достаточно гибких, чтобы изучать весьма общие и разнообразные количественные отношения (в указанном выше широком понимании), и заключается принципиальная новизна современного периода развития математики. <...> (С. 62-63).

Вопросы обоснования математики.

Роль теории множеств и математической логики Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в XIX в. усиленное внимание к вопросам ее «обоснования», т.е. критического пересмотра ее исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Важность такого рода работы становится особенно понятной, если учесть то, что было выше сказано об изменившемся характере взаимоотношений между развитием математической теории и ее проверкой на практическом материале, доставляемом естествознанием и техникой. При построении обширных и иногда весьма абстрактных теорий, охватывающих, помимо тех частных случаев, которые привели к их созданию, огромный материал, получающий конкретные применения лишь в перспективе десятилетий, ждать непосредственных сигналов о недостаточной корректности теории в форме зарегистрированных ошибок уже нельзя. Вместо этого приходится обратиться ко всему накопленному опыту работы человеческой мысли, который как раз и суммируется в вырабатываемых постепенно наукой требованиях к «строгости» доказательств. В соответствии с этим работы по строгому обоснованию тех или иных отделов математики справедливо занимают значительное место в математике XIX и XX веков. В применении к основам анализа (теория действительных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приемов дифференциального и интегрального исследования) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в большинстве учебников (даже чисто практического характера). Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практических потребностей математической теории запаздывает. Так в течение долгого времени уже на рубеже XIX и XX вв. было с операционным исчислением, получившим весьма широкие применения в механике и электротехнике. Лишь с большим запозданием было построено логически безупречное изложение математической теории вероятностей. И в настоящее время еще отсутствует строгое обоснование многих математических методов, широко применяемых в современной теоретической физике, где много ценных результатов получается при помощи незаконных математических приемов, дающих, например, иногда правильный ответ лишь «с точностью» до заведомо ошибочного множителя, поправляемого из посторонних данному «математическому выводу» соображений, или при помощи отбрасывания в сумме слагаемых, обращающихся в бесконечность и т.п.

Только к концу XIX в. сложился стандарт требований к логической строгости, остающийся и до настоящего времени господствующим в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой некоторыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться логически строго построенной только в том случае, если при ее развитии не используется никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах свойств изучаемых объектов и отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются через эти последние.

Из указанных требований, в частности, вытекает, что математическая теория, применимая к какой-либо системе объектов, применима автоматачески и к любой «изоморфной» системе. Заметим по этому поводу, что кажущееся иногда весьма абстрактным понятие изоморфизма является просто математическим выражением идеи «моделирования» физических явлений из какой-нибудь одной области (например, тепловых) физическими явлениями иной природы (например, электрическими).

Изложенная концепция строения математической теории является по существу лишь некоторой конкретизацией определения математики как науки о количественных отношениях в разъясненном выше широком понимании термина «количественные отношения». «Безразличие» количественных отношений к конкретной природе тех предметов, которые они связывают, находит здесь свое выражение в возможности свободно переходить от одной системы объектов к любой, ей изоморфной.

Теоретико-множественная концепция не только доставила основной в настоящее время стандарт математической «строгости», но и позволила в значительной мере разобраться в разнообразии возможных математических теорий и их систематизировать. Так, чистая алгебра определяется как наука о системах объектов, в которых задано конечное число операций, применимых (каждая) к определенному конечному числу объектов системы и производящих из них новый объект системы (например, в случае алгебраического поля — две операции (сложение и умножение) над двумя элементами каждая). Этим чистая алгебра отделяется от анализа и геометрии (в собственном смысле слова, предполагающем известную «непрерывность» изучаемых пространств), которые существенно требуют введения «предельных» отношений, связывающих бесконечное число объектов.

Естественно, что аксиоматическое изложение какой-либо специальной математической теории (например, теории вероятностей) не начинают на пустом месте, а пользуются понятием ранее построенных теорий (например, понятиями натурального или действительного числа). В результате этого безукоризненное проведение аксиоматического изложения математических теорий перестало быть чем-либо особенно обременительным и все больше входит во всеобщее употребление. При изучении таких сложных и в то же время общих образований, как, например, непрерывные группы, различные виды линейных пространств, этот способ изложения и исследования необходим для достижения полной ясности и избежания ошибок.

Во всех конкретных, хотя бы и весьма общих, математических теориях (от теории действительных чисел до общей теории топологических пространств и т.п.) точка зрения теории множеств себя вполне оправдала в том смысле, что благодаря ее проведению на конкретных математических исследованиях практически исчезли случаи длительных неясностей и разногласий по вопросу о корректности определений и достаточной убедительности доказательств отдельных теорем. Возникшие в самой теории множеств неясности и даже прямые противоречия связаны главным образом с теми ее областями, где понятию бесконечного множества придается общность, излишняя для каких-либо приложений. С принципиальной стороны, однако, следует иметь в виду, что теоретико-множественное построение всех основных математических теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных чисел требует обращения к теории именно бесконечных множеств, а их теория сама требует логического обоснования, так как абстракция, приводящая к понятию бесконечного множества, законна и осмысленна лишь при определенных условиях, которые еще далеко не выяснены. (С. 65-67)

Все те результаты, которые могут быть получены в пределах одной дедуктивной теории, могут быть также получены вычислением, производимым по данным раз навсегда правилам. Если для решения некоторого класса проблем дается строго определенный рецепт их вычислительного решения, то говорят о математическом алгоритме. С самого создания достаточно разработанной системы математических знаков проблемы построения достаточно общих и в то же время кратких алгоритмов занимали большое место в истории математики. Но только в последние десятилетия в результате развития математической логики начала создаваться общая теория алгоритмов и «алгоритмической разрешимости» математических проблем. Практические перспективы этих теорий, по-видимому, весьма велики, особенно в связи с современным развитием вычислительной техники, позволяющей заменить сложные математические алгоритмы работой машин. Отмеченной выше ограниченности возможностей любой фиксированной дедуктивной теории в теории алгоритмов соответствуют теоремы о невозможности «универсальных» алгоритмов для достаточно общих классов математических проблем. Эти теоремы дали философии математики наиболее интересную и острую конкретизацию общего положения о том, что живое мышление принципиально отличается от работы любого вида вычисляющих автоматов.

Теория множеств, успешное построение большинства математических теорий на основе теоретикомножественной аксиоматики и успехи математической логики (с входящей в нее теорией алгоритмов) являются весьма важными предпосылками для разрешения многих философских проблем современной математики. Благодаря теоретико-множественной переработке всех отделов математики, решение проблем, связанных с понятием бесконечности в математике, сведено к обоснованию и критическому выяснению содержания понятия бесконечного множества. Теоретико-множественная аксиоматика, как уже было указано, дает средства для достаточно общей трактовки вопроса о количественном характере изучаемых математических отношений. Она же позволяет с единой точки зрения рассмотреть строение специальных математических теорий, предметное содержание которых закрепляется при помощи соответствующей системы аксиом, и, таким образом, до известной степени осветить как вопрос об отношении математической теории к действительности, так и вопрос о своеобразии математического метода исследования. <...> (С. 68-69).

Данный текст является ознакомительным фрагментом.