21. Правосторонняя критическая область. Левосторонняя и двусторонняя критические области. Мощность критерия

21. Правосторонняя критическая область. Левосторонняя и двусторонняя критические области. Мощность критерия

При проверке статистических гипотез используют правосторонние, левосторонние и двусторонние критические области.

Правосторонняя критическая область характеризуется неравенством вида:

L>lкр,

где L – это наблюдаемое значение статистического критерия, вычисленное по данным выборки;

lкр, – это положительное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия.

Следовательно, для определения правосторонней критической области необходимо рассчитать положительное значение статистического критерия lкр.

Предположим, что вероятность совершения ошибки первого рода или уровень значимости равен значению а. При условии справедливости основной гипотезы Н0, вероятность того, что значение статистического критерия L будет больше значения lкр, равна заданному уровню значимости, т.е. P(L>lкр)=a.

Для каждого статистического критерия рассчитаны специальные таблицы, с помощью которых определяют  критическую точку, удовлетворяющую заданному уровню значимости.

Левосторонняя критическая область характеризуется неравенством вида:

L<lкр,

где L – это наблюдаемое значение статистического критерия, вычисленное по данным выборки;

lкр, — это отрицательное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия.

Следовательно, для определения левосторонней критической области необходимо найти рассчитать отрицательное значение статистического критерия lкр.

Предположим, что вероятность совершения ошибки первого рода или уровень значимости равен значению а. При условии справедливости основной гипотезы Н0, вероятность того, что значение статистического критерия L будет меньше значения lкр, равна заданному уровню значимости, т.е. P(L<lкр)=a.

Двусторонняя критическая область характеризуется двумя неравенствами вида:

L>lкр1 и L<lкр2,

где L – это наблюдаемое значение статистического критерия, вычисленное по данным выборки;

lкр1 – это положительное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия;

lкр2 — это отрицательное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия;

lкр1> lкр2.

Предположим, что вероятность совершения ошибки первого рода или уровень значимости равен значению а. При условии справедливости основной гипотезы Н0, сумма вероятностей того, что значение статистического критерия L будет больше значения lкр1 или меньше значения lкр2, равна заданному уровню значимости, т.е. P(L>lкр1)+(L<lкр2)=a.

Выбор критической области осуществляется исходя из вида конкурирующей гипотезы Н1. При этом применяются следующие правила:

1) правосторонняя критическая область выбирается в том случае, если Н1:>;

2) левосторонняя критическая область выбирается в том случае, если Н1:‹;

3) двусторонняя критическая область выбирается в том случае, если Н1:?.

Предположим, что заданы следующие параметры:

1) статистический критерий L;

2) критическая область W, где H0 отклоняется;

3) область принятия гипотезы

где H0 не отклоняется;

4) вероятность совершить ошибку первого рода a;

5) вероятность совершить ошибку второго рода ?.

Тогда справедливо утверждение о том, что выражение

является вероятностью того, что статистический критерий L попадёт в критическую область, если верна гипотеза H.

При построении критической области учитываются два требования:

1) вероятность того, что статистический критерий L попадёт в критическую область, если верна Н0, равна а:

данное равенство задаёт вероятность совершения ошибки первого рода;

2) вероятность того, что статистический критерий L попадёт в критическую область (область отклонения гипотезы Н0 в пользу гипотезы Н1), если верна гипотеза Н1:

данное равенство задаёт вероятность принятия правильной гипотезы.

Мощностью статистического критерия называется вероятность попадания данного критерия в критическую область, при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза Н1, т. е.выражение 1-? является мощностью критерия.

Если уровень значимости уже выбран, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого требования обеспечивает минимальную ошибку второго рода, состоящую в том, что будет принята неправильная гипотеза.