§ 19 Закон всемирного тяготения

Когда однажды, в думу погружён,

Увидел Ньютон яблока паденье,

Он вывел притяжения закон

Из этого простого наблюденья.

Впервые от Адамовых времён

О яблоке разумное сужденье

С паденьем и с законом тайных сил

Ум смертного логично согласил.

Дж. Байрон. Дон Жуан

Один Ньютон – это сила, с которой одно яблоко падает на одну голову с высоты одного метра.

Студенческий анекдот

Открытие математических законов движения принесло Ньютону неслыханную славу и восхищение, которых при жизни не удостаивался ни один учёный. Особенно велика была его популярность у него на родине, в Англии, где Ньютона провозгласили «новым Моисеем», которому Бог открыл свои сокровенные законы. Его современник, английский поэт А. Поуп, писал:

Кромешной тьмой был мир окутан,

И в тайны естества наш взор не проникал,

Но Бог сказал: «Да будет Ньютон!»

И свет над миром воссиял.

Самое сильное впечатление на современников произвела третья книга ньютоновских «Начал», где был сформулирован закон всемирного тяготения. Этот закон называли «величайшим обобщением, достигнутым человеческим разумом». По распространённой легенде, идея этого закона пришла к Ньютону в тот момент, когда он увидел падающее с дерева яблоко. Родственники и друзья Ньютона уверяли, что слышали эту историю от него самого.

«Плод яблони со древа упадает: Закон небес постигнул человек», – писал русский поэт Е. А. Баратынский. Но даже если это действительно было так, вряд ли одного яблока было достаточно для открытия великого закона природы. Мысль о существовании тяготения высказывалась ещё в Древней Греции. Её обсуждали в Европе в эпоху Возрождения. Многие считали, что приливы и отливы связаны с притяжением Луны и Солнца, и проводили аналогию с притяжением магнита и электрических зарядов. Особенно окрепло это мнение после открытия Коперника. Однако точную формулировку для описания этого явления удалось найти только Ньютону.

Гравитация

Ньютон исходил из открытых немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером (1571–1630) закономерностей движения планет по орбитам, о которых вы узнаете позже. Перед современниками Ньютона стоял вопрос: что заставляет планеты двигаться вокруг Солнца? Некоторые люди считали, что позади планет стоят ангелы, машут крыльями и толкают их по орбитам. Нобелевский лауреат Р. Фейнман утверждал, что этот ответ не так уж неверен. «С той только разницей, что «ангелы» сидят в другом месте и толкают планету к Солнцу».

Ньютону оставалось объединить результаты, полученные Галилеем и Кеплером. Он рассуждал так: если на тело не действует сила, оно, согласно принципу инерции, должно двигаться по прямой, а поскольку планеты вращаются по замкнутым орбитам, имеющим форму эллипса, т. е. искривляют свою траекторию, то, следовательно, на них действует какая-то сила. И, скорее всего, эта сила исходит от Солнца. Ньютону удалось доказать, что законы Кеплера вытекают из того предположения, что все изменения в скорости объясняются тем, что действующая на планеты сила направлена прямо к Солнцу. Зная, как период обращения разных планет зависит от расстояния до Солнца, можно определить, как эта сила меняется в зависимости от этого расстояния. И Ньютон нашёл, что она обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Теперь требовалось придать этим выводам общий характер. Известно, что Луна вращается вокруг Земли приблизительно таким же образом, как и Земля вокруг Солнца. Значит, логично предположить, что Земля притягивает Луну так же, как Солнце притягивает планеты. Известно также, что Земля вообще притягивает все предметы, находящиеся на ней, и Ньютон предположил, что Луну на орбите удерживает та же сила, которая притягивает предметы, например яблоки, к Земле. Это предположение надо было подтвердить точными расчётами, и Ньютон сделал это, сравнив скорость движения Луны по околоземной орбите с ускорением падающих у поверхности Земли предметов, которое было известно ещё Галилею. Оказалось, что сила, с которой Земля притягивает Луну и яблоки, в точности обратно пропорциональна квадрату расстояния от Луны или от яблока до центра Земли. Эта сила называется гравитационной силой.

Гравитационная постоянная.

Ньютон также установил, что сила притяжения зависит от масс взаимодействующих между собой тел, а именно пропорциональна их произведению. Таким образом, сформулированный Ньютоном закон имел такое математическое выражение:

F ~M m / R ²

где M и m – массы взаимодействующих тел, а R – расстояние между ними. Что именно представляет собой эта пропорциональность и каким коэффициентом она выражается, удалось выяснить позже. Найденный коэффициент назвали гравитационной постоянной и обозначили буквой G. Таким образом, современная формула закона всемирного тяготения имеет вид:

F = G •M m / R ²

Установить численное значение гравитационной постоянной удалось благодаря опытам Генри Кавендиша, проведённым в 1798 г. с помощью прибора (рис. 49). Он подвесил на очень тонкой кварцевой нити стержень с двумя шарами, а затем поднёс к ним сбоку два больших свинцовых шара. Притяжение этих шаров чуть-чуть перекрутило нить, и по степени закручивания можно было измерить силу этого притяжения. Затем, зная эту силу, а также массу шаров и расстояние между ними, можно было вычислить гравитационную постоянную, а зная эту величину, можно было вычислить массу Земли. Поэтому Кавендиш назвал свой эксперимент «взвешиванием Земли», хотя, зная значение гравитационной постоянной, можно «взвесить», т. е. определить, также массу Солнца, Луны, планет и всего остального.

Ускорение свободного падения.

А теперь обратим внимание на одно интересное обстоятельство. Определим, с какой силой притягивается к Земле тело, находящееся вблизи её поверхности. Будем считать, что в уравнении закона всемирного тяготения M – масса Земли, m – масса притягиваемого тела, а R – расстояние от этого тела до центра Земли[7]. Так как расстояние от центра Земли до её поверхности составляет 6,3 тыс. км, высотой предмета над поверхностью Земли в десятки или сотни метров можно пренебречь. Масса Земли, естественно, для всех предметов одинакова, значит, сила притяжения пропорциональна массе самого тела.

Рис. 49. Крутильные весы Генри Кавендиша

Но одним из главных открытий Галилея считается доказательство того, что ускорение падающих предметов, которое называют ускорением свободного падения, всегда одинаково и не зависит от их массы. Как же это может быть? Вычислим ускорение свободного падения, используя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения. Первый утверждает, что ускорение равно действующей силе, делённой на массу тела, а из последнего следует, что эта сила прямо пропорциональна его массе. Таким образом, масса оказывается и в числителе, и в знаменателе уравнения. Сократив её, мы получаем: a = GM/R ²,т. е. масса предмета в эту формулу уже не входит, а значит, и не влияет на ускорение, которое зависит только от массы Земли и расстояния до её центра. Масса Земли всегда одинакова, а расстояние в разных частях планеты немного различается, так как Земля, как известно, сплющена с полюсов. Поэтому вблизи экватора притяжение Земли, а следовательно, ускорение свободного падения, а вместе с ним и вес тела немного меньше, чем вблизи полюса. Так что, если купить золото, скажем, в Эквадоре, а продать по той же цене в Исландии, то можно немного заработать. В среднем ускорение свободного падения равно приблизительно 9,8 м/с², а для неточных практических расчётов можно принять его за 10 м/с².

Масса: гравитационная и инертная.

Итак, мы сократили массы в уравнении закона тяготения и получили, что ускорение не зависит от массы притягиваемого предмета. Вроде бы всё правильно, но давайте подумаем, что же именно мы сократили. Та масса, которая была в числителе, определяет силу притяжения между телами, она называется гравитационной массой. Та же масса, что была в знаменателе, измеряет сопротивление действующей силе и называется, как нам уже известно, инертной массой. Что между ними общего? Долгое время считали, что единственное, что их объединяет, – это их неизменное совпадение. Одна масса всегда равна другой. Поэтому, говоря о массе, обычно не поясняли, какая именно имеется в виду. Масса всегда оставалась массой. Причину этого странного совпадения объяснил только в прошлом веке Альберт Эйнштейн в своей общей теории относительности.

Сила притяжения между телами, зависящая от их массы, очень слаба по сравнению с другими существующими в природе силами, например с электромагнитными. Однако, она присуща всем без исключения телам и распространяется на бесконечные расстояния (на очень больших расстояниях её значение практически можно считать равным нулю), и её роль во Вселенной весьма велика. Но какова природа гравитации? Откуда она берётся? Ответ на этот вопрос содержится в той же общей теории относительности. А в классической физике просто утверждается, что вокруг любого объекта, обладающего массой, существует поле притяжения, или гравитационное поле, сила которого убывает пропорционально квадрату расстояния. Это поле обладает свойством притягивать другие объекты, имеющие массу. В дальнейшем мы расскажем об этом подробнее.

Проверьте свои знания

1. Как изменяется ускорение свободного падения в зависимости от географической широты?

2. От чего зависит сила гравитационного поля?

3. Как изменится сила гравитационного притяжения, если обе взаимодействующие массы возрастут в три раза?

4. Чем различаются инерционная и гравитационная массы?

Задания

Известно, что приливы и отливы связаны с притяжением воды Луной и Солнцем. Попробуйте на основании возможных взаимных расположений этих светил определить, почему приливы сменяются отливами.