82. Линейные модели стационарного временного ряда

We use cookies. Read the Privacy and Cookie Policy

82. Линейные модели стационарного временного ряда

Стохастический временной ряд называется стационарным, если его математическое ожидание, дисперсия, автоковариация и автокорреляция являются неизменными во времени.

К основным линейным моделям стационарных временных рядов относятся:

1) модели авторегрессии;

2) модели скользящего среднего;

3) модели авторегрессии скользящего среднего.

Уровень временного ряда, представленного моделью авторегрессии порядка р, можно представить следующим образом:

yt=?1yt-1+?2yt-2+…+?pyt–p+?t,

где p – порядок модели авторегрессии;

?t – коэффициенты модели авторегрессии, подлежащие оцениванию;

?t – белый шум (случайная величина с нулевым математическим ожиданием).

Модель авторегрессии порядка р обозначается как АР(р) или AR(p).

На практике чаще всего используются модели авторегрессии первого, второго, максимум третьего порядков.

Модель авторегрессии первого порядка АР(1) называется “Марковским процессом”, потому что значения переменной y в текущий момент времени t зависят только от значений переменной y в предыдущий момент времени (t–1). Данная модель имеет вид:

yt=?yt–1+?t.

Для модели АР(1) действует ограничение |?|<1.

Модель авторегрессии второго порядка АР(2) называется “процессом Юла”. Данная модель имеет вид:

yt=?1yt-1+?2yt-2+?t.

На коэффициенты модели авторегрессии второго порядка накладываются ограничения вида:

1) (?1+?2)<1;

2) (?1–?2)<1;

3) |?2|<1.

Модели скользящего среднего относятся к простому классу моделей временных рядов с конечным числом параметров, которые можно получить, представив уровень временного ряда как алгебраическую сумму членов ряда белого шума с числом слагаемых q.

Общая модель скользящего среднего порядка q имеет вид:

yt=?t–?1?t–1–?2?t–2–…–?q?t–q,

где q – порядок модели скользящего среднего;

?t – неизвестные коэффициенты модели, подлежащие оцениванию;

?t – белый шум.

Модель скользящего среднего порядка q обозначается как CC(q) или MA(q).

На практике чаще всего используются модели скользящего среднего первого CC(1) и второго порядков CC(2).

Коэффициенты модели скользящего среднего порядка q не обязательно должны в сумме давать единицу и не обязательно должны быть положительными.

Для достижения большей гибкости модели временных рядов при эконометрическом моделировании в неё включают как члены авторегрессии, так и члены скользящего среднего. Подобные модели получили название смешанных моделей авторегрессии скользящего среднего и также относятся к линейным моделям стационарных временных рядов.

Смешанная модель авторегрессии скользящего среднего обозначается как АРСС(p,q) или ARMA(p,q).

Чаще всего на практике используется смешанная модель АРСС(1) с одним параметром авторегрессии p=1 и одним параметром скользящего среднего q=1. Данная модель имеет вид:

yt=?yt–1+?t–??t–1,

где ? – параметр процесса авторегрессии;

? – параметр процесса скользящего среднего;

?t – белый шум.

На коэффициенты данной модели накладываются следующие ограничения:

1) |?|<1 – условие, обеспечивающее стационарность смешанной модели;

2) |?|‹1 – условие, обеспечивающее обратимость смешанной модели.

Свойство обратимости смешанной модели АРСС(p,q) означает, что модель скользящего среднего можно обратить или переписать в виде модели авторегрессии неограниченного порядка, и наоборот.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.