82. Линейные модели стационарного временного ряда
82. Линейные модели стационарного временного ряда
Стохастический временной ряд называется стационарным, если его математическое ожидание, дисперсия, автоковариация и автокорреляция являются неизменными во времени.
К основным линейным моделям стационарных временных рядов относятся:
1) модели авторегрессии;
2) модели скользящего среднего;
3) модели авторегрессии скользящего среднего.
Уровень временного ряда, представленного моделью авторегрессии порядка р, можно представить следующим образом:
yt=?1yt-1+?2yt-2+…+?pyt–p+?t,
где p – порядок модели авторегрессии;
?t – коэффициенты модели авторегрессии, подлежащие оцениванию;
?t – белый шум (случайная величина с нулевым математическим ожиданием).
Модель авторегрессии порядка р обозначается как АР(р) или AR(p).
На практике чаще всего используются модели авторегрессии первого, второго, максимум третьего порядков.
Модель авторегрессии первого порядка АР(1) называется “Марковским процессом”, потому что значения переменной y в текущий момент времени t зависят только от значений переменной y в предыдущий момент времени (t–1). Данная модель имеет вид:
yt=?yt–1+?t.
Для модели АР(1) действует ограничение |?|<1.
Модель авторегрессии второго порядка АР(2) называется “процессом Юла”. Данная модель имеет вид:
yt=?1yt-1+?2yt-2+?t.
На коэффициенты модели авторегрессии второго порядка накладываются ограничения вида:
1) (?1+?2)<1;
2) (?1–?2)<1;
3) |?2|<1.
Модели скользящего среднего относятся к простому классу моделей временных рядов с конечным числом параметров, которые можно получить, представив уровень временного ряда как алгебраическую сумму членов ряда белого шума с числом слагаемых q.
Общая модель скользящего среднего порядка q имеет вид:
yt=?t–?1?t–1–?2?t–2–…–?q?t–q,
где q – порядок модели скользящего среднего;
?t – неизвестные коэффициенты модели, подлежащие оцениванию;
?t – белый шум.
Модель скользящего среднего порядка q обозначается как CC(q) или MA(q).
На практике чаще всего используются модели скользящего среднего первого CC(1) и второго порядков CC(2).
Коэффициенты модели скользящего среднего порядка q не обязательно должны в сумме давать единицу и не обязательно должны быть положительными.
Для достижения большей гибкости модели временных рядов при эконометрическом моделировании в неё включают как члены авторегрессии, так и члены скользящего среднего. Подобные модели получили название смешанных моделей авторегрессии скользящего среднего и также относятся к линейным моделям стационарных временных рядов.
Смешанная модель авторегрессии скользящего среднего обозначается как АРСС(p,q) или ARMA(p,q).
Чаще всего на практике используется смешанная модель АРСС(1) с одним параметром авторегрессии p=1 и одним параметром скользящего среднего q=1. Данная модель имеет вид:
yt=?yt–1+?t–??t–1,
где ? – параметр процесса авторегрессии;
? – параметр процесса скользящего среднего;
?t – белый шум.
На коэффициенты данной модели накладываются следующие ограничения:
1) |?|<1 – условие, обеспечивающее стационарность смешанной модели;
2) |?|‹1 – условие, обеспечивающее обратимость смешанной модели.
Свойство обратимости смешанной модели АРСС(p,q) означает, что модель скользящего среднего можно обратить или переписать в виде модели авторегрессии неограниченного порядка, и наоборот.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.