Нормальный алгорифм

Нормальный алгорифм, одно из современных уточнений понятия алгоритма, получившее распространение в исследованиях по конструктивной математике. Предложено в 1950 А. А. Марковым, впервые систематически и строго построившим на основе этого уточнения общую алгоритмов теорию. Н. а. эквивалентны частично-рекурсивным функциям (см. Рекурсивные функции), а следовательно, и Тьюринга машинам.

Концепция Н. а. специально приспособлена для реализации алгоритмов, действующих над словами в тех или иных алфавитах. При этом под алфавитом в математике понимается любой конечный набор четко отличимых друг от друга графических символов (букв), а под словом в данном алфавите — произвольная конечная цепочка букв этого алфавита. Цепочка, вовсе не содержащая букв, также считается словом в данном алфавите (пустое слово). Например, цепочки «ииаам», «книга», «гамма» являются словами в русском алфавите, а также в шестибуквенном алфавите {к, н, и, г, а, м}. Элементарным актом преобразования слов в алгоритмических процессах, задаваемых Н. а., является т. н. операция «подстановки вместо первого вхождения». Пусть Р, Q, R — слова в некотором алфавите. Результатом подстановки Q вместо первого вхождения Р в R называется слово ? (R, Р, Q), получаемое следующим образом. Если Р входит в R, т. е. R представимо в виде S₁PS₂, то среди таких представлений отыскивается представление с наиболее коротким словом S₁ и полагается ? (R, Р, Q) = S₁QS₂. Если же Р не входит в R, то ? (R, Р, Q) = R. Так, ? (гамма, а, е) = гемма.

Для задания Н. а. необходимо фиксировать некоторый алфавит А, не содержащий букв «?» и «·», и упорядоченный список слов вида Р ? Q (простая формула подстановки) или Р ? Q (заключит. формула подстановки), где Р и Q — слова в А. Формулы подстановок принято записывать друг под другом в порядке следования, объединяя их слева фигурной скобкой. Получающаяся фигура называется схемой Н. а. Исходными данными и результатами работы Н. а. являются слова в А (сам Н. а. называется Н. а. в алфавите А). Процесс применения к слову R Н. а. со схемой вида

где ?_i (1 ? i ?n) означает «?» или «?», разворачивается следующим образом. Отыскивается наименьшее i, при котором P_i входит в R. Если все P_i не входят в R, то работа заканчивается и её результатом считается R. Если требуемое i найдено, то переходят к слову ? (R, P_i, Q_i). При этом в случае, если использованная формула подстановки P_id_iQ_i была заключительной (d_i = ®), работа заканчивается и результатом считается ? (R, P_i, Q_i). Если же формула P_id_iQ_i — простая, то описанная процедура повторяется с заменой R на ? (R, R_i, Q_i).

Пример. Натуральные числа можно рассматривать как слова в алфавите {О, 1} вида 0, 01, 01l…. Н. а. в этом алфавите со схемами {0 ?· 01 и {1? переводят каждое натуральное число п соответственно в n + 1 и в 0.

Множество всех Н. а. замкнуто относительно известных способов комбинирования алгоритмов. Например, по любым двум Н. а. и можно построить Н. а., являющийся композицией и, т. е. реализующий следующий интуитивный алгоритм: «сначала выполнить алгоритм, затем к результату применять».

Соотношение между интуитивными алгоритмами и Н. а. описывается выдвинутым А. А. Марковым принципом нормализации: всякий алгоритм, перерабатывающий слова в данном алфавите А в слова в этом же алфавите, может быть реализован посредством Н. а. в некотором расширении А. [Легко указать очень простые алгоритмы в А, не реализуемые Н. а. в A; с другой стороны, всегда можно ограничиться двухбуквенным (и даже однобуквенным) расширением A.] Принцип нормализации эквивалентен тезису Чёрча и, аналогично последнему, не может быть доказан из-за неточности интуитивной концепции алгоритма.

Лит.: Марков А. А., Теория алгорифмов, М. — Л., 1954 (Тр. Математического института АН СССР, т. 42); Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1971.

Б. А. Кушнер.