§ 73 Условная вероятность и случайные процессы
Представим теперь, что нас интересует наступление двух различных событий. Предположим, что детская конноспортивная школа состоит из двух секций: выездки и конкура. Выездкой занимается 15 девушек и 5 юношей, а конкуром – 10 девушек и 20 юношей. Какова вероятность того, что первый встреченный нами в школе ученик будет заниматься конкуром? Условимся считать встречу с членом секции конкура благоприятным событием. Вообще же событием будем считать встречу с любым из занимающихся в этой спортивной школе учеников. Тогда общее число возможных событий равно 15 + 5 + 10 + 20 = 50. Число благоприятных событий равно 30. Следовательно, интересующая нас вероятность равна 30/50 = 0,6. Теперь предположим, что, зайдя в школу, мы встретили девушку. Какова вероятность того, что она занимается конкуром? Очевидно, что вероятность равна отношению числа девушек, занимающихся конкуром, к общему числу девушек в школе, т. е. 10/25 = 0,4. Мы видим, что эта вероятность меньше предыдущей. Откуда взялась эта разница? В первом случае мы знали только число учеников, занимающихся конкуром или выездкой. Теперь у нас появились дополнительные сведения: оказалось, что встреченный ученик, вернее ученица, женского пола. Таким образом, величина 0,4 означает вероятность того, что первый встреченный нами человек занимается конкуром при условии, что он женского пола. Такую вероятность называют условной, и она может отличаться от ранее вычисленной вероятности. Таким способом можно вычислить и другие вероятности, выбирая различные условия. Какова безусловная вероятность встретить в конноспортивной школе юношу? Очевидно, 0,5, так как ровно половину из всех учеников составляют юноши. А какова вероятность встретить юношу при условии, что он занимается в секции выездки? Поскольку из 25 юношей, занимающихся в конноспортивной школе, только 5 занимаются выездкой, то вероятность такого события равна 5/25 = 0,2.
Если вероятность события А не изменяется в зависимости от того, наступило событие В или нет, то события А и В называют независимыми. Например, вероятность того, что завтра будет дождь, никак не связана с тем, какую оценку вы получили по естествознанию. Если события А и В независимы, то вероятность того, что наступит и то и другое, равна произведению вероятностей этих событий. Например, мы хотим определить вероятность того, что завтра одновременно произойдут два приятных события, оба из которых являются случайными и независимыми: не состоится урок по естествознанию и в буфет привезут особенно вкусные пирожные. Мы знаем, что урок отменяют в среднем один раз из десяти, а пирожные завозят в среднем один раз в три дня. Выражение «в среднем» означает, что мы не знаем точно, в какой день не состоится урок или привезут пирожные. Мы знаем только, что 10 из 100 уроков обычно по той или иной причине отменяют, а в течение 30 учебных дней интересующие нас пирожные привозят 10 раз. Возможна, например, такая ситуация, когда подряд 3 урока не состоятся из-за болезни учителя, потом в течение месяца не будет отменён ни один, а затем 4 занятия подряд будет пропущено из-за карантина и т. д. Точно так же пирожные могут привозить 3 дня подряд, потом 10 дней не привезти ни разу, а затем снова 2 дня подряд, опять неделю ни разу и т. д. В этом случае и говорят, что отмена урока или доставка пирожных являются случайными событиями. Мы не знаем точно, наступит ли то или иное событие, но можем определить его вероятность. Мы знаем, что вероятность того, что завтра не будет естествознания, равна 1/10, а вероятность полакомиться пирожным – 1/3. Значит, вероятность того, что завтра повезёт сразу в двух событиях, равна 1/10 •1/3 = 1/30.
Условная вероятность имеет большое значение в тех случаях, когда надо предсказывать будущие события или рассчитывать протекание каких-либо процессов, не зная в точности, какие случайные факторы могут вмешаться в ход этого процесса. В природе существуют процессы, ход которых не может быть нарушен случайными вмешательствами. Если выпустить из руки камень, то можно точно предсказать, когда и в каком именно месте он упадёт на пол. Вернее, это можно сделать почти точно, так как возможно, хотя и крайне маловероятно, что в течение той доли секунды, когда камень падает, произойдёт, например, землетрясение. Можно встретить процессы, где результат в принципе предопределён, но возможность вмешательства случайности достаточно велика. Например, мы имеем сложный редуктор с системой зубчатых передач, где вращение передаётся от одной шестерёнки к другой, от неё – к следующей, и так много раз. Такой процесс в принципе строго предопределён и полностью подчиняется законам механики. Однако не исключены случаи, когда один зубчик в какой-либо шестерёнке сотрётся или в механизм попадёт песчинка, в результате чего точность механизма будет нарушена. Существуют, однако, такие процессы, в которых последовательность событий зависит от множества причин, которые невозможно учесть.
Рис. 197. Схема разветвления дорог (пояснения в тексте)
Такие процессы называют случайными или вероятностными.
Рассмотрим простой пример случайного процесса (рис. 197). Путешественник хочет пройти из пункта А в пункт Б. Из пункта А выходят три дороги: одна ведёт в пункт Б, вторая – в тупик, а третья через некоторое время раздваивается так, что одна ветвь ведёт в тупик, а вторая в пункт Б. У путешественника нет карты, и на каждой развилке он выбирает дальнейший путь случайно, считая все варианты равновероятными. Спрашивается, какова вероятность того, что он попадёт в пункт Б, ни разу не зайдя в тупик?
Вероятность того, что путешественник выйдет из пункта А по каждой из трёх дорог, равна 1/3. Если он пойдет по первой дороге, он сразу же попадёт в нужное место, т. е. с вероятностью 1/3 он сразу попадёт в пункт Б. Вероятность пойти по второй дороге тоже равна 1/3, но в этом случае он попадает на развилку, где ему приходится выбирать с равной вероятностью между правильной дорогой и путём в тупик. Вероятность выбора правильной дороги на развилке составляет 1/2.
Выбор направления в пункте А никак не влияет на выбор направления на развилке, т. е. эти события независимы. Вспомним, что вероятность того, что наступят оба независимых события, т. е. что путешественник вначале выберет вторую дорогу, а затем дорогу в пункт Б, равна произведению вероятностей обоих событий. Следовательно, вероятность того, что путешественник попадёт в пункт Б этим путём, равна 1?3 •1?2 = 1?6. Вычислим вероятность того, что путешественник вообще попадёт в пункт Б. Понятно, что если он выберет третью дорогу, то эта вероятность равна нулю, и этот вариант можно не учитывать. Следовательно, есть только два варианта попасть в нужное место: пойти или по первой, или по второй дороге. Выбор либо первой, либо второй дороги – несовместимые события, ведь нельзя пойти сразу по двум дорогам. Поэтому вероятность того, что путешественник попадёт в пункт Б по любому из этих путей, не зайдя в тупик, равна сумме вероятностей для каждого пути, т. е. 1?3 + 1?6 =3/6= 1?2. Вероятность противоположного события (попасть в тупик) равна 1 – 1?2 = 1?2. Таким образом путешественник имеет равные шансы попасть в пункт Б или зайти в тупик.
При моделировании природных или социально-экономических процессов и при разработке систем автоматического управления используют подобного рода цепи, состоящие из множества шагов (развилок). Если известны вероятности выбора каждого из вариантов на разных ступенях процесса, то конечный результат часто удаётся предсказать с поразительной точностью.
Проверьте свои знания
1. В каком случае события А и В называются независимыми?
2. Чему равна вероятность наступления сразу двух независимых событий, если вероятность наступления каждого равна соответственно P и Q?
3. Что такое условная вероятность?
4. Что такое вероятностные процессы?
Задания
1. Подберите эпиграф к данному параграфу.
2. Ученик полагает, что вероятность успешной сдачи им зачёта по естествознанию равна 0,6, а по истории – 0,8. Какова, по его мнению, вероятность того, что он успешно сдаст оба зачёта? Какова вероятность того, что он не сдаст ни одного из двух зачётов?
3. В первой урне находится 4 белых и 8 чёрных шаров, а во второй – 12 белых и 8 чёрных. Какова вероятность вынуть белый шар, если брать его наугад из первой попавшейся урны? Какова вероятность того же события при условии, что шар вынимается из второй урны?
4. Приведите примеры географических и научных открытий, которые произошли случайно, вопреки запланированному.
5. Порой в нашей жизни происходят некие случайные события, которые влияют на нашу судьбу. История знает множество подобных примеров. Вот один из них. Известный французский парфюмер Франсуа Коти вопреки строгим правилам первым начал добавлять в духи помимо естественных компонентов ещё и синтетические материалы. В результате они были настолько новаторскими, что ни один магазин не хотел рисковать. Но однажды, во время визита в очередной универмаг, Коти случайно уронил флакон со своими духами, и тот разлетелся вдребезги. Воздух наполнился ароматом, и посетители стали требовать именно эти духи. Аромат был тут же принят, и за несколько дней разошлось 500 флаконов. Так парфюмерный шедевр Коти произвёл настоящую революцию.
Были ли в вашей жизни или в жизни ваших близких подобные счастливые случайности?
6. Джоан Роулинг написала первую книгу о Гарри Поттере, будучи нищей матерью-одиночкой. Спасаясь от глубокой депрессии, она выдумала мир волшебников, который помогал ей забыть о собственных злоключениях. Первые 18 издательств отказались печатать книгу, но 19-е всё-таки решило узнать мнение детей – те были в восторге! А Джоан Роулинг стала известна во всём мире. Всегда ли малая вероятность события означает, что следует отказаться от попыток его реализации? Сделайте выводы.