§ 20 Третий закон Ньютона. Импульс и его сохранение

[Святогор хочет поднять «суму перемётную», но не может её оторвать от земли].

Он берёт сумочку да одной рукой —

Эта сумочка да не сшевелится,

Как берёт он обема рукам,

Принатужился он силой богатырской,

По колен ушёл да в мать сыру землю…

[Оказывается, в сумочке – «тягость матушки сырой земли». Вот с чем пробовал состязаться богатырь – с земной мощью великой!]

Из былины о богатыре Святогоре (рис. 50)

Мы знаем, что основой механики Ньютона является представление о силе. С помощью этой физической величины можно в принципе рассчитывать любые виды движения.

Рис. 50. Святогор – богатырь русского былинного эпоса, великан «выше леса стоячего», которого с трудом носит мать сыра земля. Однажды, чувствуя в себе колоссальные силы, он похвалился, что если б было кольцо в небе, а другое в земле, то он перевернул бы небо и землю

Говоря о силах, Ньютон определил главным образом две вещи. Он сформулировал закон для сил тяготения и нашёл общее свойство всех сил, которое сформулировано в его третьем законе. Этот закон гласит:

«Сила действия равна силе противодействия».

Это значит, что если тело А действует на тело В с какой-либо силой, то и тело В действует на тело А с силой, которая равна ей по модулю, но противоположна по направлению. Если один предмет притягивает или толкает другой с какой-то силой, то второй с такой же силой притягивает или толкает его в обратном направлении. Любой предмет, находящийся на поверхности Земли, давит на неё с той же силой, с какой она давит на него.

Третий закон часто встречает непонимание. Неужели, если я беру в руку лист бумаги и легко его поднимаю, то он действует на меня с такой же силой, с какой я на него? Как может Земля притягивать к себе яблоко с той же силой, с которой яблоко притягивает земной шар? Сила действия и сила противодействия приложены к разным телам, и каждое из них реагирует на эти силы в соответствии со своей массой. Поскольку масса бумажного листа несоизмеримо меньше массы нашего тела, мы практически не получаем при таком контакте ускорения и не замечаем усилия, необходимого для того, чтобы поднять бумагу, так же как «не замечает» его Земля, когда на неё падает яблоко. А для листа бумаги или яблока такая сила весьма существенна, так как в силу своей малой массы они начинают двигаться с большим ускорением.

Импульс

Познакомимся ещё с одной физической величиной, имеющей большое значение для изучения движения. Эта величина называется импульсом и представляет собой произведение массы тела на его скорость. Иначе его называют количеством движения, так как если два предмета движутся с одной и той же скоростью, то движение более тяжёлого представляется более «существенным». Нетрудно догадаться, что изменение импульса за единицу времени будет равно силе, действующей на тело, потому что сила – это произведение массы на ускорение, а ускорение – это изменение скорости за единицу времени. Если обозначить импульс буквой р, его изменение – величиной ?р, а изменение скорости как ??, то мы получим:

?р/t = m ?v/t = ma = F.

Отсюда следует, что изменение импульса можно выразить так же, как произведение силы на время, в течение которого она действует: чем дольше действует сила, тем больше становится скорость, а следовательно, и импульс. Если мы учтём, что масса при этом не меняется, то ?p = Ft. А это значит, что ?p/t = F, т. е. изменение импульса тела за единицу времени равно действующей на это тело силе.

Закон сохранения импульса.

Теперь посмотрим, какие выводы можно сделать из третьего закона. Допустим, что у нас взаимодействуют два тела, масса которых может быть различна. Мы знаем, что силы, с которыми они действуют друг на друга, одинаковы по абсолютной величине и противоположны по направлению. Следовательно, изменения их импульсов также будут равны по величине и противоположны по направлению. Но тогда, если мы сложим эти изменения импульсов, взяв их с противоположными знаками, то их сумма будет равна нулю. Значит, если на наши тела не действуют никакие внешние силы, то изменение суммы их импульсов всегда будет равно нулю, т. е. суммарный импульс не будет изменяться. Это важное положение называют законом сохранения импульса.

Если рассмотреть систему, которая состоит не из двух, а из большего числа частиц, то этот закон не потеряет своего значения. Если на систему не действуют внешние силы, то суммарный импульс всех частиц остаётся постоянным, поскольку увеличение импульса одной частицы под воздействием другой частицы в точности компенсируется уменьшением импульса этой второй частицы под воздействием первой. Таким образом, если нет сил, действующих на систему извне (внешних сил), то импульс измениться не может, он всегда остаётся постоянным. Закон сохранения импульса справедлив для всех, даже самых сложных, систем.

Зная закон сохранения импульса, легко рассчитывать последствия всякого рода взаимодействий и столкновений тел. Предположим, навстречу друг другу катятся два шара, один с массой M, а другой – с массой m, причём первая больше второй. Пусть первый имеет скорость v, а второй – скорость v₂. Предположим, что тело с большей массой движется на восток, а тело с меньшей – на запад. Условимся считать, что скорость, направленная на восток, имеет знак «+», а скорость, направленная на запад, – знак «-». Тогда скорость первого тела будет записываться как «+v₁», а скорость второго – как «-v₂». В какой-то момент они столкнулись и слиплись. В результате этого образовалось одно тело с массой M + m. Куда и с какой скоростью оно будет двигаться дальше? Импульс р₁ первого тела равен Mv₁, а импульс р₂ второго равен (-mv₂), а их суммарный импульс:

Mv₁ – mv₂.

Значит, скорость, с которой будет двигаться объединённое тело, будет равна:

Mv₁ – mv₂/ М + m.

Направление этой скорости будет зависеть от того, импульс какого тела был больше до столкновения. Поясним это на таком фантастическом примере.

Идёт война. Одно войско осадило крепость, второе – в ней обороняется. Осаждающие вооружены мобильными пушками с ядрами, имеющими массу 10 кг и вылетающими со скоростью 300 м/с. В крепости установлены более массивные, но менее мощные орудия, выпускающие тяжёлые 15-килограммовые ядра со скоростью всего 100 м/с. И вот два ядра сталкиваются в полёте в тот момент, когда они строго по прямой линии летели навстречу друг другу. Вычислим, что произойдёт после столкновения. Импульс ядра осаждавших составлял 3000 кг м/с, а импульс ядра защитников крепости с учётом того, что его скорость направлена в обратную сторону, – 1500 кг • м/с. Представим чисто гипотетически, что ядра после столкновения по каким-либо причинам слиплись, их общий импульс стал 1500 кг • м/с, а масса – 25 кг. Скорость, с которой после столкновения полетит объединённое ядро, будет равна 1500 кг • м/с / 25 кг, что составляет 60 м/с. Эта скорость имеет знак «+», а это означает, что объединённое ядро будет продолжать лететь в сторону крепости, хотя и с гораздо меньшей скоростью, чем первоначальное ядро осаждавших.

Такое столкновение, при котором происходит слипание взаимодействующих тел, называется неупругим. Часто встречается и упругое столкновение, после которого столкнувшиеся предметы разлетаются в обратных направлениях. Типичным примером упругого столкновения служит поведение биллиардных шаров. При таком столкновении закон сохранения импульса не нарушается, так как изменение импульсов противоположно по знаку и равно по абсолютной величине, а следовательно, суммарное их изменение равно нулю.

Реактивное движение.

Сохранение импульса лежит в основе реактивного движения, примером которого является всё та же стрельба из пушек. Когда ядро весом 10 кг находилось в пушке осаждавших, общий импульс ядра и пушки был равен нулю. Таким же он и остался после выстрела. Но ядро вылетело со скоростью 300 м/с и приобрело импульс, равный, как мы уже знаем, 3000 кг м/с. Для того чтобы суммарный импульс остался равным нулю, пушка должна приобрести точно такой же импульс, только с противоположным знаком.

Рис. 51. Реактивное движение в технике и живой природе

Если масса пушки равна, допустим, 300 кг, она при выстреле откатится назад со скоростью 10 м/с. Это явление по отношению к пушкам называют откатом, а в случае более лёгкого ручного оружия – отдачей.

Реактивное движение в настоящее время используется во множестве технических устройств: от приспособлений для поливки газонов до космических ракет. Мы уже говорили об описанном Героном эолипиле, который вращался под действием реактивной силы пара, вырывающегося из трубок. В 1750 г. венгерский учёный Я. А. Сегнер изобрёл колесо, которое до сих пор так и называется «сегнеровым колесом» (рис. 51). Оно состоит из вертикальной трубы, по которой вода поступает в горизонтальную трубу, концы которой загнуты в разные стороны. Вытекающая из отогнутых трубок вода вызывает реактивное вращение горизонтальной трубы. Несмотря на то, что само по себе это устройство большого практического значения не имеет, оно послужило прообразом для создания гидравлических турбин, которые в настоящее время работают на гидроэлектростанциях.

Хотя реактивное движение известно людям с древности, его широкое практическое применение началось в XX в., когда появились ракеты. Ракета представляет собой сосуд, в задней части которого расположено отверстие, называемое соплом. Внутри ракеты находится топливо – вещество, способное сгорать с выделением большого количества газов. При сгорании газы с большой скоростью вырываются из сопла, а так как общий импульс при этом измениться не может, ракета движется вперёд со скоростью, которую можно рассчитать с помощью закона сохранения импульса.

В начале XX в. русский учёный Константин Эдуардович Циолковский (1875–1935) предложил использовать реактивное движение для полётов в космическом пространстве. Существовавшие в то время летательные аппараты, такие как дирижабли и самолёты, для этой цели не годились, так как их движение основано на давлении воздуха и неосуществимо в безвоздушном пространстве. В дальнейшем идеи Циолковского были использованы для конструирования сначала реактивных самолётов, а затем и ракет, выводящих на орбиту искусственные спутники и космические станции и даже совершающих полёты на Луну и планеты Солнечной системы.

Проверьте свои знания

1. Сформулируйте третий закон Ньютона.

2. Что такое упругое и неупругое столкновения?

3. Как выразить изменение импульса через действующую силу и время её действия?

4. Объясните принцип работы реактивных двигателей. Почему в безвоздушном пространстве нельзя использовать такие летательные аппараты, как самолёты и дирижабли?

5. Где в растительном и животном мире встречается реактивный способ движения?

Задания

1. Прочитайте эпиграф к § 20. Почему Святогор, пытаясь поднять суму, содержащую «тягу земную», увяз по колена в землю?

2. Два вагона движутся навстречу друг другу. Масса одного вагона – 50 т, а его скорость – 40 км/ч. У другого вагона масса – 30 т, а скорость – 80 км/ч. Происходит неупругое столкновение, и вагоны продолжают совместное движение. В каком направлении и с какой скоростью они движутся?