МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

- один из ведущих разделов современной логики и математики. Сформировался в 19-20 ст. как реализация идеи о возможности записать все исходные допущения на языке знаков, аналогичных математическим и тем самым заменить рассуждения вычислениями. Предыстория М.Л. связана с именами Аристотеля, Р. Луллия, Дж. Буля (1815-1864), создавшего ее аппарат; Фреге, развившего логико-математические языки; Дж. Пеа-но (1858-1932), попытавшегося изложить разделы математики на языке логики. В основании всех исканий лежало стремление создать специальное счетное устройство (прообраз компьютерных систем) и соответствующий техническим вычислениям язык передачи информации. Второй важной проблемой М.Л. является выбор исходных понятий и их обоснование. В конце 19 ст. казалось, что исходным может быть понятие множества; эта точка зрения была детерминирована эффектом от самого факта появления теории множеств как новой области математики (Б. Больцано, Г. Кантор). Рефлексия над феноменом множеств привела к обнаружению парадоксов в теории множеств. (Одним из тех, кто пытался "спасти" математику от этой проблемы был Д. Гильберт). С 20-х 20 в. начинается современный этап развития М.Л. Он связан с применением точных методов при изучении формальных аксиоматических задач. Суть их состоит в описании рассматриваемой теории на базе строгого логико-математического языка (формализация), с последующими процедурами логического анализа теории, а именно с точки зрения непротиворечивости (например, таких теорий, как элементарная геометрия, арифметика, анализ достаточно надежных оснований) и полноты (теорема Геделя о неполноте утверждает, что всякая достаточно богатая теория необходимо содержит утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, не опровергнув самой теории). Критике подверглись некоторые положения, используемые в математике без должного обоснования (закон исключенного третьего, аксиомы выбора и др.). Построение математики с учетом этих ограничений стало программой интуиционизма (один из авторов Я. Брадэр), конструктивизма (А.А. Марков). Основным объектом современной М.Л. являются исчисления. В качестве их компонентов выступают: 1) язык (формальный); 2) аксиомы; 3) правила вывода. На их основе стало возможным дать точное определение доказательства, получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории. Значительным достижением является и математическое определение понятия алгоритма (эффективной процедуры для решения задач из бесконечного класса задач). Еще Лейбниц мечтал о нахождении алгоритма для решения всех математических проблем. Разработка теории алгоритма связана с именами К. Геделя, Ж. Эрбрана, С. Кли-ни, А. Тьюринга, А. Черча, А.А. Маркова, А.Н. Колмогорова, П.С. Новикова и др. М.Л. имеет несколько разделов, связанных с изучением понятия доказательства (теория доказательств), моделей (теория моделей - Тарский, А.И. Мальцев). В ней очевидны синтаксический и семантический аспекты изучения формальных языков. Перспективы развития М.Л. предполагают высокую динамику как количественного, так и качественного роста кибернетических устройств. Другим стимулом являются достижения в разработке проблем обоснования математики (современный аксиоматический метод).

А.И.Лойко

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Похожие главы из других книг

Логика

Из книги Энциклопедический словарь (Л) автора Брокгауз Ф. А.


Логика

Из книги Большая книга афоризмов автора Душенко Константин Васильевич

Логика Логика есть анатомия мышления. Джон Локк Логика — это нравственность мысли и речи. Ян Лукасевич Логика — это искусство ошибаться с полной достоверностью. Джозеф Вуд Кратч Логика — смирительная рубашка фантазии. Хельмар Нар Логика — это комод, в котором


ЛОГИКА

Из книги Все по науке. Афоризмы автора Душенко Константин Васильевич

ЛОГИКА Логика есть анатомия мышления. Джон Локк Логика – это нравственность мысли и речи. Ян Лукасевич Логика – это искусство ошибаться с полной достоверностью. Джозеф Вуд Кратч Логика – смирительная рубашка фантазии. Хельмар Нар Логика – это вопрос веры. Эрнст


Логика

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ЛО) автора БСЭ


ЛОГИКА

Из книги автора

ЛОГИКА (греч. logos - слово, рассуждение, понятие, разум) - наука о формах, законах и методах познавательной деятельности; способность правильно (логически) мыслить. С древности замечено важное свойство познающего мышления человека: если вначале высказываются некоторые


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Из книги автора

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - один из ведущих разделов современной логики и математики. Сформировался в 19-20 ст. как реализация идеи о возможности записать все исходные допущения на языке знаков, аналогичных математическим и тем самым заменить рассуждения вычислениями.


Логика

Из книги автора

Логика Логика есть анатомия мышления. Джон Локк* Логика – это нравственность мысли и речи. Ян Лукасевич* Логика – это искусство ошибаться с полной достоверностью. Джозеф Вуд Кратч* Логика – смирительная рубашка фантазии. Хельмар Нар* Логика – это комод, в котором